第五章 帶有非線性聯(lián)軸器軸系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法的研究
5-1 帶有非線性聯(lián)軸器軸系力學(xué)和數(shù)學(xué)模型的建立
在第三章，根據(jù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)建立了具有非線性遲滯特性聯(lián)軸器的恢復(fù)力模型。這一章，將研究一個(gè)帶有這種聯(lián)軸器的軸系如圖5-1所示，該軸系有n個(gè)圓盤，由鋼絲繩聯(lián)軸器與主機(jī)相連接，按以下原則建立力學(xué)模型：
1.每個(gè)圓盤均視為剛性勻質(zhì)，所有圓盤的質(zhì)量mi都有不同程度的偏心距ei。轉(zhuǎn)軸軸線垂直通過各圓盤的幾何中心；
2.設(shè)軸承、軸承座以及聯(lián)軸器各向同性，靜坐標(biāo)系如圖5-1所示，支座處理成簡支；
3.聯(lián)軸器從動(dòng)端處理成一集中質(zhì)量mb，由于聯(lián)軸器主動(dòng)端與主機(jī)軸相連接，主機(jī)軸相對(duì)軸系軸來說，較短較粗，剛性較大，變形較小，故將聯(lián)軸器主動(dòng)端、主機(jī)軸視為一體，位移為零，聯(lián)軸器從動(dòng)端與主動(dòng)端之間由非線性彈簧及非線性阻尼器聯(lián)結(jié)；
4.軸系為小位移振動(dòng)，且忽略回轉(zhuǎn)效應(yīng)。
當(dāng)主機(jī)以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸系在各偏心力的作用下產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：
式中
，
，
，分別為軸系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。其中阻尼矩陣=a+b，a，b為比例常數(shù)。
=[m1e1ω2sin（ωt+
）…mnenω2sin（ωt+
）
]T
其中：yi,zi分別為軸系中第i個(gè)圓盤在y,z方向的位移分量；
i=dyi/dt，
i=d2yi/dt2，
i=dzi/dt，
b=d2zi/dt2分別為對(duì)應(yīng)于位移分量yi,zi的速度和加速度，yb,zb為聯(lián)軸器從動(dòng)端集中質(zhì)量塊mb在y,z方向的位移；b=dyb/dt，b=d2yb/dt2，b=dzb/dt，b=d2zb/dt2分別為對(duì)應(yīng)于位移分量yb,zb的速度和加速度；
，
為y,z方向的激勵(lì)力向量，其中mieiω2cos（ωt+
），mieiω2sin（ωt+）分別為y,z方向的偏心力分量；（
，yb，b，ωt),（
，zb，b，ωt）分別為非線性彈性聯(lián)軸器恢復(fù)力在y,z方向的分量。為第i個(gè)圓盤質(zhì)量偏心的初相位角，即軸系靜止時(shí)，第i個(gè)圓盤質(zhì)心和幾何中心連線與水平軸的夾角。
由于假設(shè)軸承、軸承座以及聯(lián)軸器各向同性，式（5-1〕、式（5-2）解法相同，只需要討論二者之一即可。
式（5-l）表示一個(gè)局部非線性彈性和阻尼元件的振動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)這種系統(tǒng)，按現(xiàn)有常規(guī)方法來求解是非常困難的，為此，本文以GILM為基礎(chǔ)發(fā)展了一種稱為SSGILM(Separate System-Gal-erkin and Improved Levenbery-Marquar-dt）的方法來求解此類微分方程組。
5-2 SSGILM法
一.振動(dòng)微分方程組的改寫和解耦
首先把有局部非線性系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組（5-1）式改寫成只有線性常系數(shù)的微分方程組和一個(gè)具有非線性變參數(shù)的微分方程兩部分：
式中：
式（5-4）的Py中含有yb和b而（5-5）的Fj中含有yj，j（j=1，2，… n）。這樣，軸系分成運(yùn)動(dòng)微分方程耦聯(lián)的兩個(gè)子系統(tǒng)—線性軸系子系統(tǒng)和非線性聯(lián)軸器子系統(tǒng)。
式（5-4）為線性方程，按常規(guī)方法可求出無阻尼的各階固有頻率pi以及對(duì)應(yīng)的主振型Yi向量（i=1，2，…，n），Yi分別除以相應(yīng)廣義質(zhì)量的平方根
（Mi=
MYi）得到正則振型YNi向量。引入正則振型坐標(biāo)WNi，對(duì)（5-4）式進(jìn)行坐標(biāo)變換；
式中，WNi為正則振型向量WN中的第i個(gè)分量，
Ni和
Ni，分別為它對(duì)時(shí)間t的一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)；I為單位矩陣；
i=（a+
）/2Pi=cii2pimi為振型比例阻尼比；PNi為PN=
Py激勵(lì)力向量中的第i個(gè)分量。
經(jīng)正則坐標(biāo)變換，雖然得到互不耦合的線性微分方程組（5-9)，但是（5-9）式仍然不能像單自由度振動(dòng)系統(tǒng)那樣求解，因?yàn)椋?-9）式中的激勵(lì)力包含未知的振動(dòng)位移yb和振動(dòng)速度b。如果yb已知，就可以從（5-9）式中解得WNi，進(jìn)而可以由（5-7）式得到各yi。因此需要求得yb。
圖5-1所示軸系在主機(jī)帶動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各圓盤質(zhì)量偏心將產(chǎn)生周期偏心激勵(lì)力，根據(jù)第二章的試驗(yàn)結(jié)果，聯(lián)軸器非線性恢復(fù)力Q是時(shí)間的周期函數(shù)，因此當(dāng)軸系中有聯(lián)軸器這種局部非線性元件時(shí)，可以設(shè)它的位移響應(yīng)是周期性的，即假設(shè)yb有下面的形式：
由式（5-6）、（5-8）和（5-9）可知，激勵(lì)力由二類力構(gòu)成，一類是質(zhì)量偏心力mieiω2cos（ωt+），另一類是恢復(fù)力-ki（n+1）yb-ci（n+1）b，為求解（5-8）式方便，將（5-10）代入（5-8）式，并將正則激勵(lì)力分解成：
PN=Py=PN1+PN2 （5-11）
式中：
由（5-11）和（5-12）式可知，若{a}已知，就可以由（5-12）式求出各WNi，代WNi入（5-7）式，可以得到各yi。由此可以把求yb的問題轉(zhuǎn)化為求{a}=[a0 a1 
T的問題。
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