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5-3  用SSGILM法計(jì)算帶有非線性聯(lián)軸器軸系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

為了求得未知向量{a}，還需做以下工作：

一、向量函數(shù){r（{ a^（k）}）}的計(jì)算

要計(jì)算{r（{ a^（k）}）}的值，首先需要求得頻域向量{q({a^(k)})}和{f_J({a^(k)})}的值。

1．{q({a^(k)})}的計(jì)算

{q({a^(k)})}為聯(lián)軸器恢復(fù)力（，，，τ）的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式各簡(jiǎn)諧分量的系數(shù)向量。對(duì)于給定的{ a^（k）}，不能由時(shí)域表達(dá)式（，，，τ）求得頻域內(nèi)的{q（{ a^（k）}）}，而必須按以下步驟計(jì)算。

首先，由給定的頻域向量{q（{ a^（k）}）}，根據(jù)傅立葉展開(kāi)式（5-13）求得，在一個(gè)周期內(nèi)的N個(gè)時(shí)域離散值，記為Y（1）～Y（N）和DY（1）～DY（N），其次，由下式求得的幅值

然后，將以及，的時(shí)域離散值代入第三章中得到的恢復(fù)力（，，，τ）的表達(dá)式（3-8）、（3-12）、（3-27）和（3-41）式，算得對(duì)應(yīng)于{ a^（k）}的恢復(fù)力Q在一個(gè)周期內(nèi)N個(gè)時(shí)域離散值，再對(duì)這N個(gè)Q的時(shí)域離散值進(jìn)行FFT變換，即可得到非線性恢復(fù)力Q在頻域內(nèi)的各諧波分量的系數(shù)向量{q（{ a^（k）}）}

2. {f_j（{ a^（k）}）}的計(jì)算

{f_j（{ a^（k）}）}是式（5-6）中恢復(fù)力F_j的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式各諧波分量的系數(shù)向量。當(dāng)向量{ a^（k）}給定時(shí)，首先由5-2節(jié)中所述方法 算得各個(gè)和（j=1，2，…，n），其次由（5-6）式中恢復(fù)力F_j的表達(dá)式算得一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)域離散值，然后對(duì)這些離散值進(jìn)行FFT變換，即可得到頻域中Fj的各諧波分量的系數(shù)向量{f_j（{ a^（k）}）}。

算得{q（{ a^（k）}）}和{f_j（{ a^（k）}）}后，代入（5-15）式即可得到{r（{ a^（k）}）}。

二、雅可比矩陣[J（{ a^（k）}）]的計(jì)算

為計(jì)算方便起見(jiàn)，將雅可比矩陣式（5-21）分解成三個(gè)矩陣：

[J（{ a^（k）}）]=[J₁]+[J₂]+[J₃]                （5-30）

1.[J₁]的計(jì)算

由（5-15）和（5-21）式可得：

        [J₁]=

[J₂]的計(jì)算實(shí)際上就是對(duì){q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的計(jì)算。由于恢復(fù)力Q的函數(shù)表達(dá)式是{ a^（k）}的隱函數(shù)，因此不可能由Q的表達(dá)式直接進(jìn)行FFT變換來(lái)求得{q（{ a^（k）}）}，也可能由{q（{ a^（k）}）}直接對(duì){ a^（k）}；求偏導(dǎo)數(shù)來(lái)得到[J₂]，可采用以下方法來(lái)計(jì)算[J₂]：

由第三章中的式（3-8）、（3-12）、（3-41）和本章中的式（5-13）可得：

式中，/，，/，，/可以直接由Q的表達(dá)式和（5-13）進(jìn)行解析計(jì)算得到，/{ a^（k）}，/{ a^（k）}也可以由（5-13）式直接進(jìn)行解析計(jì)算得到。而/{ a^（k）}的計(jì)算須用微商的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，即對(duì)一個(gè)給定的{ a^（k）}，選取增量△{ a^（k）}，然后計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的（{ a^（k）}+△{ a^（k）}）和（{ a^（k）}）值，得：

由（5-32）式算得/{ a^（k）}的時(shí)域離散值后，進(jìn)行FFT變換即可得到頻域中的{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}。

3. [J₃]的計(jì)算

[J₃]的計(jì)算實(shí)際上就是偏導(dǎo)數(shù){f_j（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的計(jì)算。計(jì)算方法與計(jì)算{q（{ a^（k）}）}的方法類似，故不再贅述。對(duì)于[J₂]，[J₃]、分別有式（5-34）、（5-35）。

在計(jì)算出{r（{ a^（k）}）}和{J（{ a^（k）}）}之后，就可以按5-2節(jié)中發(fā)展的ILM法進(jìn)行搜索迭代計(jì)算，由初始向量{a^（0）}不斷搜索逼近滿足精度要求的{ a^（k+1）}，然后代入（5-10）、（5-11）、（5-12）和（5-7）即可求得聯(lián)軸器從動(dòng)端質(zhì)量塊m_b的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y_b以及軸系中各圓盤(pán)轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)應(yīng)Y。同時(shí)還可以得到對(duì)應(yīng)的幅頻圖。

5-4  小結(jié)

本章對(duì)帶有非線性聯(lián)抽器的n+1個(gè)自由度軸系在圓盤(pán)質(zhì)量偏心產(chǎn)生的激勵(lì)力作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法進(jìn)行了研究，以GLM法為基礎(chǔ)，提出了一種稱為SSGILM (Separate System-Ga1erkin and Imp-r0ved Leenberg-Marquardt的方法，用于計(jì)算局部具有非線性特性軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

主要工作如下：

1.建立帶有非線性聯(lián)鈾器n+1個(gè)自由度軸系的力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型，為了求解這種局部含有非線性元件的軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將軸系分成兩個(gè)子系統(tǒng)，即含有n個(gè)自由度的線性軸系和含有非線性變參數(shù)的聯(lián)軸器子系統(tǒng)。

2.對(duì)線性軸系子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程組用正則坐標(biāo)變換進(jìn)行解藕處理；對(duì)非線性變參數(shù)的聯(lián)軸器子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程用Galerkin法，變成一組隱含系數(shù)向量{a}的非線性代數(shù)方程組。

3.針對(duì)LM法的缺點(diǎn)，采用已有的選擇合適μ值的方法和加快收斂速度的算法對(duì)LM法進(jìn)行了改進(jìn)，用改進(jìn)算法對(duì)上面得到的非線性方程組中的未知向量{a}進(jìn)行搜索計(jì)算，最后解出局都具有非線性特性軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

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